Урок 24. Преобразования графиков тригонометрических функций

Цель: рассмотреть наиболее распространенные преобразования графиков тригонометрических функций.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Основные свойства и график функции у = sin х.

2. Найдите основной период функции:

3. Постройте график функции

Вариант 2

1. Основные свойства и график функции у = cos х.

2. Найдите основной период функции:

3. Постройте график функции

III. Изучение нового материала

Все преобразования графиков функций, изложенные подробно в главе 1, являются универсальными — они пригодны для всех функций, в том числе и тригонометрических. Поэтому рекомендуем повторить эту тему. Здесь же ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков.

1. Для построения графика функции у = f(x) + b надо перенести график функции на |b| единиц вдоль оси ординат – вверх при b > 0 и вниз при b < 0.

2. Для построения графика функции y = mf(x) (где m > 0) надо растянуть график функции у = f(x) в m раз вдоль оси ординат. Причем для m > 1 происходит действительно растяжение в m раз, для 0 < m < 1 – сжатие в 1/m раз.

3. Для построения графика функции у = f(x + a) надо перенести график функции на |a| единиц вдоль оси абсцисс – вправо при а < 0 и влево при а > 0.

4. Для построения графика функции у = f(kx) (где к > 0) надо сжать график функции у = f(x) в k раз вдоль оси абсцисс. Причем для k > 1 происходит действительно сжатие в к раз, для 0 < k < 1 – растяжение в 1/k раз.

5. Для построения графика функции у = -f(x) надо график функции y = f(x) отразить относительно оси абсцисс (это преобразование – частный случай преобразования 2 для m= -1).

6. Для построения графика функции у = f(-х) надо график функции y = f(x) отразить относительно оси ординат (это преобразование – частный случай преобразования 4 для k= -1).

Пример 1

Построим график функции у = -cos 3x + 2.

В соответствии с правилом 5 надо график функции у = cos x отразить относительно оси абсцисс. По правилу 3 этот график надо сжать в три раза вдоль оси абсцисс. Наконец, такой график по правилу 1 надо поднять вверх на три единицы вдоль оси ординат.

Полезно также напомнить правила преобразования графиков с модулями.

1. Для построения графика функции y = |f(х)| надо сохранить часть графика функции у = f(x), для которой у ≥ 0. Ту часть графика у = f(x), для которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2. Для построения графика функции у = f(|х|) надо сохранить часть графика функции у = f(x), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить влево относительно оси ординат.

3. Для построения графика уравнения |у| = f(х) надо сохранить часть графика функции у = f(x), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.

Пример 2

Построим график уравнения |у| = sin|x|.

Построим график функции у = sin x для x ≥ 0. Этот график по правилу 2 отразим влево относительно оси ординат. Сохраним части такого графика, для которых у ≥ 0. По правилу 3 эти части симметрично отразим вниз относительно оси абсцисс.

В более сложных случаях знаки модуля необходимо раскрывать.

Пример 3

Построим график сложной функции у = cos(2x + |х|).

Напомним, что аргумент функции косинуса представляет собой функцию переменной х, и поэтому данная функция является сложной. Раскроем знак модуля и получим: Для двух таких промежутков построим график функции y(x). Учтем, что при х ≥ 0 график функции у = cos 3x получается из графика функции у = cos х сжатием в 3 раза вдоль оси абсцисс.

Пример 4

Построим график функции

Используя формулу квадрата разности, запишем функцию в виде График функции состоит из двух частей. При х > 0 надо построить график функции у = 1 – cos х. Он получается из графика функции у = cos xотражением относительно оси абсцисс и смещением на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.

При х ≥ 0 строим график функции у = (x -1)2 – 1. Он получается из графика функции у = x2 смещением на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.

IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Правила преобразований графиков функций.

2. Преобразования графиков с модулями.

V. Задание на уроке

§ 13, № 2 (а, б); 3; 5; 7 (в, г); 8 (а, б); 9 (а); 10 (б); 11 (а, б); 13 (в, г); 14; 17 (а, б); 19 (б); 20 (а, в).

VI. Задание на дом

§ 13, № 2 (в, г); 4; 6; 7 (а, б); 8 (в, г); 9 (б); 10 (а); 11 (в, г); 13 (а, б); 15; 17 (в, г); 19 (а); 20 (б, г).

VII. Творческое задание

Постройте график функции, уравнения, неравенства:

VIII. Подведение итогов урока