Урок 63. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Цель: получить формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Определение возрастающей последовательности.

2. Последовательность (аn) задана формулой Найдите a1, a5, a10.

3. Последовательность (аn) задана формулой аn+1 = 3 – 2аn, где а1 = 2 и n ≥ 1. Найдите первые четыре члена последовательности.

4. Вычислите

Вариант 2

1. Определение убывающей последовательности.

2. Последовательность (аn) задана формулой Найдите a1, a5, a10.

3. Последовательность (аn) задана формулой an+1 = 3аn – 2, где а1 = 2 и n ≥ 1. Найдите первые четыре члена последовательности.

4. Вычислите

III. Изучение нового материала

Одной из изученных последовательностей является геометрическая прогрессия которая рассматривалась в 9 классе. Были изучены основные свойства такой прогрессии.

Если |q| < 1, то прогрессия называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Для нее, разумеется, как и для любой геометрической прогрессии, справедливы свойства и формулы, приведенные ранее. Кроме того, можно вычислить сумму бесконечного числа членов такой профессии по формуле

Пример 1

Найдем сумму чисел 6; 3; 3/2; ….

Данные числа образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, для которой b1 = 6 и q = 1/2. Тогда ее сумма равна

Пример 2

Запишем в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(27).

Получим: – эти дроби образуют бесконечную геометрическую прогрессию, у которой Ее сумма равна

Итак, 0,(27) = 3/11.

Пример 3

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найдем эту прогрессию.

Пусть дана прогрессия Тогда ее сумма Кубы членов данной прогрессии также образуют геометрическую прогрессию с первым членом b13 и знаменателем q3. Так как при |q| < 1 величина |q3| = |q|3 < 1, то эта прогрессия также бесконечно убывающая и ее сумма Получим систему нелинейных уравнений Для решения этой системы возведем первое уравнение в куб: и разделим второе уравнение системы на полученное уравнение: или 2q2 + 5q + 2 = 0. Корни этого уравнения q = -1/2 и q= -2 (не подходит, так как прогрессия бесконечно убывающая и |q| < 1). Теперь из первого уравнения находим

Пример 4

Сторона квадрата равна а. Середины сторон этого квадрата соединим отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с данным, и т. д. Найдем суммы сторон, периметров и площадей всех этих квадратов.

Обозначим стороны этих квадратов (начиная с данного): а, а2, а3, … . Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC: Запишем для него теорему Пифагора: откуда Аналогично из прямоугольного треугольника DEC находим: и т. д.

Таким образом, стороны квадратов образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию у которой первый член а и знаменатель Найдем ее сумму:

Так как периметр квадрата 4а, то периметры приведенных квадратов также образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 4а и знаменателем поэтому ее сумма

Площадь квадрата а2 и площади квадратов образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом а2 и знаменателем 1/2, поэтому сумма площадей

Итак, сумма сторон периметров – площадей – 2а2.

IV. Контрольные вопросы

1. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

2. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

V. Задание на уроке

§ 25, № 1 (а, б); 4 (в, г);.6 (а); 7 (г); 8 (а, б); 9 (б); 10; 13 (а, б); 14 (а); 15 (в, г).

VI. Задание на дом

§ 25, № 1 (в, г); 4 (а, б); 6 (б); 7 (в); 8 (в, г); 9 (в); 11; 13 (в, г); 14 (б); 15 (а, б).

VII. Подведение итогов урока