Цель: рассмотреть графики и свойства функций у = tg х, у = ctg х.
Ход уроков
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант I
1. Как построить график функции:
2. Постройте график функции:
Вариант 2
1. Как построить график функции:
2. Постройте график функции:
III. Изучение нового материала
Рассмотрим две оставшиеся тригонометрические функции – тангенс и котангенс.
1. Функция у = tg x
Остановимся на графиках функций тангенса и котангенса. Сначала обсудим построение графика функции у = tg х на промежутке 
Такое построение аналогично построению графика функции у = sin х, описанному ранее. При этом значение функции тангенса в точке находится с помощью линии тангенсов (см. рисунок).
Учитывая периодичность функции тангенса, получаем ее график на всей области определения параллельными переносами вдоль оси абсцисс (вправо и влево) уже построенного графика на π, 2π и т. д. График функции тангенса называют тангенсоидой.
Приведем основные свойства функции у = tg х:
1. Область определения – множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида 
2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = -y(x)), и ее график симметричен относительно начала координат.
3. Функция возрастает на промежутках вида 
где к ∈ Z.
4. Функция не ограничена.
5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.
6. Функция непрерывная.
7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).
8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = π, т. е. у(х + пk) = у(х).
9. График функции имеет вертикальные асимптоты 
Пример 1
Установим четность или нечетность функции:
Легко проверить, что для функций а, б область определения – симметричное множество. Исследуем эти функции на четность или нечетность. Для этого найдем у(-х) и сравним значения у(х) и y(-x).
а) Получим: 
Так как выполнено равенство y(-x) = у(х), то функция у(х) по определению четная.
б) Имеем: 
Так как выполнено равенство y(-x) = -у(х), то функция у(х) по определению нечетная.
в) Область определения данной функции – несимметричное множество. Например, функция определена в точке х = π/4 и не определена в симметричной точке х = -π/4. Поэтому данная функция определенной четности не имеет.
Пример 2
Найдем основной период функции 
Данная функция у(х) представляет собой алгебраическую сумму трех тригонометрических функций, периоды которых равны: T1 = 2π, 
Запишем эти числа в виде дробей с одинаковыми знаменателями 
Наименьшее общее кратное коэффициентов НОК (6; 2; 3). Поэтому основной период данной функции 
Пример 3
Построим график функции 
Учтем правила преобразования графиков функции. В соответствии с ними график функции 
получается смещением графика функции у = tg х на π/4 единиц вправо вдоль оси абсцисс и его растяжением в 2 раза вдоль оси ординат.
Пример 4
Построим график функции 
Используя определение и свойства модуля, в аргументе функции раскроем знаки модуля, рассмотрев три случая. Если х < 0, то имеем: 
При 0 ≤ x ≤ π/4 имеем: 
Для х > π/4 имеем: 
Далее остается построить три части данного графика. При х < 0 строим прямую у = -1. Для 0 ≤ x ≤ π/4 строим тангенсоиду 
Этот график получается смещением графика функции у = tg х на π/8 вправо вдоль оси абсцисс и сжатием в два раза вдоль этой оси. При х > π/4 строим прямую у = 1.
2. Функция у = ctg x
Аналогично графику функции у = tg х или с помощью формулы приведения 
строится график функции у = ctg x.
Перечислим основные свойства функции у = ctg x:
1. Область определения – множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида х = пk, к ∈ Z.
2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = -y(x)), и ее график симметричен относительно начала координат.
3. Функция убывает на промежутках вида (пk; п + пk), к ∈ Z.
4. Функция не ограничена.
5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.
6. Функция непрерывная.
7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).
8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = п, т. е. у(х + пk) = у(x).
9. График функции имеет вертикальные асимптоты х = пk.
Пример 5
Найдем область определения и область значений функции 
Очевидно, что область определения функции y(x) совпадает с областью определения функции z = ctg х, т. е. область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х = nk, k ∈ Z.
Функция y(х) сложная. Поэтому запишем ее в виде 
Координаты вершины параболы y(z): zB = 1 иyв = 2 – 4 + 5 = 3. Тогда область значений данной функции Е(у) = [3; +∞).
Пример 6
Построим график уравнения 
Из формы записи уравнения следует, что ctg(x + у) = 0 и sin х ≠ 0, cos у ≠ 0. Из уравнения ctg(x + у) = 0 находим 
(где k ∈ Z) и 
Построим семейство этих прямых. Теперь учтем ограничение sin х ≠ 0, откуда х ≠ πm (где m ∈ Z). Удалим эти точки из построенных прямых (пустые точки).
Рассмотрим второе ограничение – cos у ≠ 0. Подставим в него величину 
и получим: 
или по формуле приведения sin х ≠ 0. Таким образом, второе ограничение свелось к первому (уже учтенному).
Пример 7
Построим множество точек, для которых выполнено неравенство ctg(y – x) ≥ 0.
Прежде всего решим данное неравенство. Функция котангенса принимает неотрицательные значения для углов, расположенных в первой четверти, т. е. 0 < у – х ≤π/2. Учитывая периодичность функции котангенса, получим: 
где k ∈ Z. Ко всем частям этого двойного неравенства прибавим x и найдем 
На координатной плоскости изобразим множество таких точек (показаны штриховкой). Стрелки указывают, что такие точки решением не являются.
IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)
1. Основные свойства и график функции у = tg х.
2. Функция у = ctg х, ее свойства и график.
V. Задание на уроках
§ 14, № 1; 3 (а, б); 5; 6 (в, г); 7 (а, в); 8; 10 (а, б); 11; 13 (а); 14 (б); 15 (a).
VI. Задание на дом
§ 14, № 2; 3 (в, г); 4; 6 (а, б); 7 (б, г); 9; 10 (в, г); 12; 13 (б); 14 (а); 15 (6).
VII. Творческие задания
1. Определите четность или нечетность функции:
Ответы: а, б) нечетные; в, г) четные; д-з) определенной четности не имеют.
2. Постройте график функции, уравнения или неравенства:
VIII. Подведение итогов уроков
