Цель: изучить таблицу производных, правила дифференцирования.
Ход уроков
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
Вариант 1
1. Найдите производную функции f(x) = 4х – 5 в точке х0 = 3.
2. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(х) = 3 – х2 в точке а = -1.
3. Определите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону S(t) = 2t1 + 5 в момент t0 = 4.
Вариант 2
1. Найдите производную функции f(х) = 3х + 4 в точке х0 = 2.
2. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(х) = х2 + 2 в точке а = 1.
3. Определите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону S(t) = -4t2 + 3 в момент t0 = 3.
III. Изучение нового материала
На предыдущем занятии мы дали определение производной, объяснили ее физический и геометрический смысл. Теперь необходимо сделать следующий шаг. Для этого на сегодняшнем занятии рассмотрим формулы дифференцирования (таблицу производных) и правила дифференцирования.
1. Формулы дифференцирования (таблица производных)
Производные всех функций были получены с помощью определения производной.
Пример 1
Докажем, что f'(x) = -6х + 2, если f(х) = -3х2 + 2х.
1) Для произвольной точки х0 найдем приращение функции:
2) Определим разностное отношение: 
Найдем 
так как функция 
Поэтомуf'(x) = -6x + 2.
Пример 2
Найдем производную функции 
1) Найдем приращение функции: 
2) Преобразуем это выражение, умножив и разделив его на сопряженную величину: 
3) Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента: 
4) Вычислим предел этого отношения: 
Таким образом, 
Пример 3
Найдем производную функции f(х) = sin х.
1) Найдем приращение функции: 
(была использована формула разности синусов).
2) Составим разностное отношение: 
3) Найдем производную: 
Таким образом, было показано, что f'(x) = cos х.
Подобным образом можно составить таблицу производных основных функций, которая и далее будет пополняться (и ее, разумеется, надо помнить).
|
f(х) |
с |
х |
хn |
|
|
sin х |
cos x |
tg x |
ctg x |
|
f'(х) |
0 |
1 |
nxn-1 |
|
|
cos x |
-sin x |
|
|
|
f(х) |
arcsin x |
arccos x |
arctg x |
arcctg x |
|
f'(х) |
|
|
|
|
2. Правила дифференцирования
Рассмотрим правила, по которым можно дифференцировать сумму, произведение, частное функций.
Правило 1. Если функции f(х) и g(x) дифференцируемы в точке х, то и их сумма дифференцируема в точке х, причем производная суммы равна сумме производных: 
Пример 4
Докажем правило 1.
1) Сумма функций f(х) и g(x) также является функцией h(x) = f(х) + g(x).
2) Найдем приращение функции h(x): 
3) Определим отношение приращения функции Δh к приращению аргумента Δх: 
4) Найдем предел этого отношения: 
5) Таким образом, показано, что 
Пример 5
Найдем производную функции 
Используя правило 1, получим: 
Правило 2. Если функция f(х) дифференцируема в точке х, то и функция kf(х) дифференцируема в точке х, причем 
Другими словами, постоянный множитель к можно вынести за знак производной.
Пример 6
Докажем правило 2.
Используем ту же схему доказательства, как и для правила 1.
1) Произведение kf(x) также является функцией h(x) = kf(х).
2) Найдем приращение функции h(х): 
3) Определим отношение приращения функции Δh к приращению аргумента Δх: 
4) Найдем предел этого отношения: 
5) Показано, что 
Пример 7
Найдем производную функции:
а) Используем правило 2 и получим: 
б) Применим правила 1, 2 и получим: 
Правило 3. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х, то и их произведение дифференцируемо в точке х, причем 
Другими словами, производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых: первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.
Это и следующие правила доказывать не будем. Данное доказательство аналогично доказательству правил 1 и 2, но технически сложнее.
Пример 8
Найдем производную функции g(x) = x3 tg х.
В соответствии с правилом 3 получим: 
Заметим, что правило 2 является следствием правила 3. Действительно, если функцияg(x) = k – постоянное число, то по правилу 3 получим: 
– правило 2.
Правило 4. Если функции f(х) и g(x) дифференцируемы в точке х и в этой точке g(x) ≠ 0, то и функция f(x)/g(x) дифференцируема в точке х, причем 
Пример 9
Найдем производную функции 
По правилу 4 находим: 
Отметим, что правило 4 может быть использовано для нахождения производных основных изучаемых функций.
Пример 10
Найдем производную функции h(x) = ctg х.
Запишем функцию в виде 
и используем правило 4. Получим: 
———
Таким образом, получили, что 
(см. таблицу производных).
3. Дифференцирование функции у = f(kx + m)
До сих пор рассматривались производные элементарных функций с аргументом х. Их нахождение труда не вызывает. Например, для функции у = х2 производная у’ = 2х. Но для функции у = (2х + 3)2 уже возникают некоторые затруднения. Однако данное выражение можно возвести в квадрат: у – 4х2 + 12х + 9 и найти производную y’ = 4 · 2х + 12 = 4(2x + 3). Для функции у = (2x + 3)40 начинаются уже настоящие проблемы, так как возвести выражение в степень 40 нереально и применить предыдущий подход не удается. Поэтому для подобных ситуаций существует следующий алгоритм.
Правило 5. Производная функции f(kx + m) вычисляется по формуле 
Пример 11
Найдем производную функции:
Применим правило 5.
