Цель: обобщить основные тригонометрические функции.
Ход уроков
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант 1
1. Дайте определение функции синуса.
2. Дайте определение 1 радиана.
3. Запишите в других единицах измерения углы:
4. Найдите 
Вариант 2
1. Дайте определение функции косинуса.
2. Дайте определение 1 градуса.
3. Запишите в других единицах измерения углы:
4. Найдите 
III. Изучение нового материала
Известно, что значения тригонометрических функций не зависят от радиуса рассматриваемой окружности. Поэтому далее будет выбираться окружность единичного радиуса с центром в начале координат (числовая окружность). Пусть Рt числовой окружности получена при повороте точки Р0 (1; 0) на угол t. Тогда ордината точки Рt – синус угла t, абсцисса точки Р, – косинус угла t, т. е. у = sin t и х = cos t.
Основной особенностью и трудностью тригонометрии является значительное число формул. Нередки случаи, при которых применение правильных формул не приводит к результату. Поэтому недостаточно просто знать формулы, необходимо научиться их целесообразно и рационально использовать. В связи с этим будем повторять основные формулы тригонометрии, группируя их. Базовые формулы (которые надо помнить) будем нумеровать, остальные формулы без труда выводятся.
Функции одного угла
Из определения тригонометрических функций сразу следуют основные тригонометрические тождества:
Пример 1
Получим формулы (1), (2), четвертую и пятую.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. По определению имеем: 
Найдем значение выражения sin2 t + cos2 t: 
(была использована теорема Пифагора а2 + b2 = с2). Формула (1) получена.
По определению 
Разделим числитель и знаменатель этой дроби на с и получим: 
Формула (2) доказана. Очевидно, что такая дробь существует, если cos t ≠ 0, т. е. 
Аналогично выводится и формула (3).
Учитывая формулы (2) и (3), получим: 
Формула существует, еслиsin t ≠ 0 и cos t ≠ 0, т. е. 
где к ∈ Z. Четвертая формула доказана.
Учтем формулу (2) и получим: 
(была использована формула (1)). Формула имеет смысл при 
Пятая формула получена. Аналогично выводится и шестая формула.
Теперь рассмотрим использование приведенных формул. Прежде всего, эти формулы по значению одной функции угла t, позволяют найти все остальные.
Пример 2
Известно, что 
Найдем другие функции угла t.
Используя формулу (1), получим: 
откуда: 
Так как 
и в этой области sin t < 0, то решение уравнения 
По формуле (2) находим 
и по формуле (3) получим 
Итак, имеем: 
и 
Приведенные соотношения и формулы сокращенного умножения позволяют доказывать простейшие тождества.
Пример 3
Докажем, что 
Используя формулу суммы кубов и соотношение (1) получим:
Тождество доказано.
Заметим, что в выражениях, содержащих функции tg а и ctg a, удобно (используя (2), (3)) переходить к функциям sin а и cos а.
Пример 4
Докажем тождество 
Используя в левой части тождества формулу (2) и приведя дроби к общему знаменателю, разложим числитель дроби на множители и применим формулу (1), получим: 
Тождество доказано.
Пример 5
Упростим выражение 
В первой дроби заменив 1 по формуле (1), во второй дроби используя соотношение (2), получим:
Итак, выражение А = 0.
С использованием приведенных формул по известным комбинациям тригонометрических функций с учетом формул сокращенного умножения могут быть найдены их неизвестные комбинации.
Пример 6
Найдем 
Используя (2), (3), получим: 
или 
Тогда 
Пример 7
Построим график зависимости у(х), если 
при допустимых значениях а.
Чтобы найти зависимость у(х), необходимо исключить угол а. Найдем 
Видно, что а можно исключить, найдя разность 
откуда у – x = 1 и у = x + 1. Теперь остается построить график линейной функции у = х +1 (прямая линия) при условии х ≥ 0 и у ≥ 0.
Детальнее рассмотрим две другие тригонометрические функции – тангенс и котангенс.
Проведем касательную t с уравнением х = 1 к единичной окружности. Рассмотрим точку Рt этой окружности и проведем прямую OPt до пересечения с прямой l в точке Тt. Найдем ординату точки Тt. Прямая ОРt проходит через точки О (0; 0) и Рt(cos a; sin
