Урок 53. Тригонометрические неравенства (факультативное занятие)

0
33

Цель: рассмотреть способы решения тригонометрических неравенств.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Решите уравнение:

image585

Вариант 2

Решите уравнение:

image583

III. Изучение нового материала

Решение тригонометрических неравенств (как и уравнений), как правило, сводится к решению простейших тригонометрических неравенств. Поэтому прежде всего остановимся на решении таких неравенств. Их удобно решать, используя единичную окружность.

Пример 1

Решим неравенство sin x > 1/2.

На единичной окружности по оси ординат отложим значение sin х = 1/2 и построим соответствующие углы (углы откладываются против часовой стрелки и являются положительными). На рисунке видно, что неравенству sin х > 1/2 удовлетворяют значения Учтем, что период функции синуса составляет 2π, и получим решение данного неравенства или

Пример 2

Решим неравенство

На оси котангенсов для единичной окружности отложим значение и построим соответствующий угол Видно, что неравенству удовлетворяют значения Учитывая период функции котангенса (равный π), получим решение данного неравенства: или где n ∈ Z.

В случае сложного аргумента тригонометрической функции рекомендуется обозначить его новой переменной, решить для него неравенство, а затем вернуться к старой неизвестной.

Пример 3

Решим неравенство

Обозначим аргумент косинуса и получим простейшее тригонометрическое неравенство Решим это неравенство. На единичной окружности по оси абсцисс отложим значение и построим соответствующие углы Тогда неравенству удовлетворяют значения Учтем периодичность функции cos y и получим решения

Теперь вернемся к старой неизвестной х и получим двойное линейное неравенство Ко всем частям неравенства прибавим число π/6. Отсюда Все части неравенства разделим на положительное число 3. При этом знак неравенства сохраняется. Получим: или где n ∈ Z.

Если неравенство не является простейшим, то используя преобразования, аналогичные тем, которые применялись для уравнений, сводим неравенство к простейшему.

Пример 4

Решим неравенство

Введем новую переменную у = tg x и получим квадратное неравенство Это неравенство имеет решение Вернемся к старой неизвестной x и получим двойное неравенство На единичной окружности по оси тангенсов отложим значения 1 и и построим соответствующие углы Тригонометрическому неравенству удовлетворяют значения Учтем периодичность функции тангенса и получим решение данного неравенства: или

Также при решении тригонометрических неравенств можно использовать метод интервалов (который является универсальным для всех неравенств).

Пример 5

Решим неравенство

На единичной окружности отметим значения х, при которых обращается в нуль числитель (откуда ) и знаменатель sin 2х = 0 (тогда ) (откуда ) дроби. Определим знак этой дроби, например, при х = π/6 и получим:

Учтем, что при переходе через отмеченные значения х знак неравенства меняется на противоположный. Построим диаграмму знаков данной дроби. Также учтем значения х, при которых знаменатель дроби обращается в нуль (они отмечены кружками). Теперь легко выписать решения неравенства: Учитывая, что через 2пn (где n ∈ Z) ситуация повторяется, выпишем решения данного неравенства:

При наличии в неравенстве функций тангенса и котангенса удобно перейти к функциям синуса и косинуса и использовать рассмотренный метод интервалов.

Пример 6

Решим неравенство

Учтем, что и запишем неравенство в виде Отметим на единичной окружности значения х, при которых обращается в нуль числитель sin x – cos x= 0 (откуда и ) и знаменатель sin x cos x = 0 (тогда и x = 2π) дроби. Определим знак данной дроби, например, при х = π/3 и получим:

Учтем, что при переходе через отмеченные значения x знак неравенства меняется на противоположный. Построим диаграмму знаков данной дроби. Учтем также значения х, при которых знаменатель дроби обращается в нуль (они отмечены кружками). С учетом периодичности функций синуса и косинуса, входящих в неравенство, запишем окончательное решение данного неравенства где n ∈ Z

 

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Пожалуйста, введите свой комментарий!
Пожалуйста, введите ваше имя здесь