Цель: рассмотреть способы решения тригонометрических неравенств.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели урока
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
Вариант 1
Решите уравнение:
Вариант 2
Решите уравнение:
III. Изучение нового материала
Решение тригонометрических неравенств (как и уравнений), как правило, сводится к решению простейших тригонометрических неравенств. Поэтому прежде всего остановимся на решении таких неравенств. Их удобно решать, используя единичную окружность.
Пример 1
Решим неравенство sin x > 1/2.
На единичной окружности по оси ординат отложим значение sin х = 1/2 и построим соответствующие углы 
(углы откладываются против часовой стрелки и являются положительными). На рисунке видно, что неравенству sin х > 1/2 удовлетворяют значения 
Учтем, что период функции синуса составляет 2π, и получим решение данного неравенства 
или 
Пример 2
Решим неравенство 
На оси котангенсов для единичной окружности отложим значение 
и построим соответствующий угол 
Видно, что неравенству 
удовлетворяют значения 
Учитывая период функции котангенса (равный π), получим решение данного неравенства: 
или 
где n ∈ Z.
В случае сложного аргумента тригонометрической функции рекомендуется обозначить его новой переменной, решить для него неравенство, а затем вернуться к старой неизвестной.
Пример 3
Решим неравенство 
Обозначим аргумент косинуса 
и получим простейшее тригонометрическое неравенство 
Решим это неравенство. На единичной окружности по оси абсцисс отложим значение 
и построим соответствующие углы 
Тогда неравенству 
удовлетворяют значения 
Учтем периодичность функции cos y и получим решения 
Теперь вернемся к старой неизвестной х и получим двойное линейное неравенство 
Ко всем частям неравенства прибавим число π/6. Отсюда 
Все части неравенства разделим на положительное число 3. При этом знак неравенства сохраняется. Получим: 
или 
где n ∈ Z.
Если неравенство не является простейшим, то используя преобразования, аналогичные тем, которые применялись для уравнений, сводим неравенство к простейшему.
Пример 4
Решим неравенство 
Введем новую переменную у = tg x и получим квадратное неравенство 
Это неравенство имеет решение 
Вернемся к старой неизвестной x и получим двойное неравенство 
На единичной окружности по оси тангенсов отложим значения 1 и 
и построим соответствующие углы 
Тригонометрическому неравенству удовлетворяют значения 
Учтем периодичность функции тангенса и получим решение данного неравенства: 
или 
Также при решении тригонометрических неравенств можно использовать метод интервалов (который является универсальным для всех неравенств).
Пример 5
Решим неравенство 
На единичной окружности отметим значения х, при которых обращается в нуль числитель 
(откуда 
) и знаменатель sin 2х = 0 (тогда 
) 
(откуда 
) дроби. Определим знак этой дроби, например, при х = π/6 и получим:
Учтем, что при переходе через отмеченные значения х знак неравенства меняется на противоположный. Построим диаграмму знаков данной дроби. Также учтем значения х, при которых знаменатель дроби обращается в нуль (они отмечены кружками). Теперь легко выписать решения неравенства: 
Учитывая, что через 2пn (где n ∈ Z) ситуация повторяется, выпишем решения данного неравенства: 
При наличии в неравенстве функций тангенса и котангенса удобно перейти к функциям синуса и косинуса и использовать рассмотренный метод интервалов.
Пример 6
Решим неравенство 
Учтем, что 
и запишем неравенство в виде 
Отметим на единичной окружности значения х, при которых обращается в нуль числитель sin x – cos x= 0 (откуда 
и 
) и знаменатель sin x cos x = 0 (тогда 
и x = 2π) дроби. Определим знак данной дроби, например, при х = π/3 и получим:
Учтем, что при переходе через отмеченные значения x знак неравенства меняется на противоположный. Построим диаграмму знаков данной дроби. Учтем также значения х, при которых знаменатель дроби обращается в нуль (они отмечены кружками). С учетом периодичности функций синуса и косинуса, входящих в неравенство, запишем окончательное решение данного неравенства 
где n ∈ Z
