Цель: продолжить изучение основных тригонометрических формул.
Ход уроков
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (тест).
Вариант 1
1. Вычислите 
Ответы: 
2. Вычислите sin(2 arctg 3).
Ответы:
3. Упростите выражение 
Ответы: 
4. Решите уравнение 
Ответы: 
Вариант 2
1. Вычислите 
Ответы 
2. Вычислите cos(2 arctg 4).
Ответы: 
3. Упростите выражение 
Ответы: 
4. Решите уравнение 
Ответы: 
III. Изучение нового материала
Приведем следующую группу формул – формулы, с помощью которых можно преобразовать суммы тригонометрических формул в произведения:
Пример 1
Выведем формулу (14).
Представим углы х и у в виде 
воспользуемся формулами (5) и (4) и получим: 
Пример 2
Преобразуем в произведение А 
Сгруппируем члены этого выражения и используем приведенные формулы: 
Пример 3
Упростим выражение 
Воспользуемся формулами (7) и (12): 
Пример 4
Решим уравнение:
а) Перенесем все члены уравнения в левую часть: sin 12х – sin 2х = 0 – и преобразуем разность синусов в произведение: 
или 
Получим совокупность уравнений 
и 
б) В отличие от предыдущей задачи в данном случае функции разноименные. Поэтому используем формулу приведения 
Преобразуем сумму косинусов в произведение: 
или 
Учтем четность функции косинуса: 
Приходим к совокупности уравнений 
(тогда 
и 
) и 
(тогда 
).
в) Сгруппируем члены уравнения 
Преобразуем суммы синусов в произведения: 
Вынесем общий множитель за скобки: 
Преобразуем сумму косинусов в произведение: 
Получим совокупность уравнений sin 3x = 0 (тогда 
),cos 3x/2 = 0 (тогда 
и 
) и cos x/2 = 0 (тогда 
). Заметим, что решения 
можно объединить одной формулой 
Пример 5
Построим график уравнения: a) sin 2y = sin 4x; б) cos у = cos х2.
Найдем более простую связь между переменными у и х. Для этого преобразуем разность тригонометрических функций в произведение,
а) Получим: sin 2y – sin 4x = 0 или 2 cos(y + 2x)sin(y – 2x) = 0. Приходим к совокупности уравнений cos(y + 2x) = 0 (тогда 
и 
) и sin(y – 2х) = 0 (тогда у – 2х = πn и у = 2х + πn). Таким образом, придавая n различные значения, строим два семейства прямых: 
(параллельные прямые).
б) Получим: cos у – cos х2 = 0 или 
Приходим к совокупности уравнений 
(тогда 
и 
) и 
(тогда 
и
). Строим эти семейства парабол.
Рассмотрим теперь метод вспомогательного угла. Он используется для преобразования выражений вида A sin x + B cos x к одной тригонометрической функции. Данное выражение (обозначим его z) умножим и разделим на число 
Получим: 
Легко проверить, что выполняется равенство 
Поэтому можно считать, что A/C и B/C — значения тригонометрических функции некоторого (вспомогательного) угла t: 
Тогда выражение z можно записать в виде 
При этом угол t можно найти из равенства Но так как число С записывают в виде радикала, то получают равенство tg t = B/A, из которого находят угол t = arctg B/A.
Таким образом, выражение z = A sin x + B cos x можно записать в виде z = C sin(x + t), где 
и t = arctg B/A.
Пример 6
Преобразуем выражение z = sin х + 2 cos х.
В данном случае коэффициенты А = 1, В = 2. Найдем число 
(тогда t = arctg 2). Получим: 
где t = arctg 2.
Заметим, что выражение z = A sin x + B cos x можно привести и к виду 
где 
Для этого обозначим 
и 
тогда 
Пример 7
Преобразуем выражение z = sin s + 2 cos x.
Запишем данное выражение в виде 
где 
Пример 8
Найдем наименьшее и наибольшее значения выражения z = 3 sin x + 4 cos x + 7.
Представим выражение 
в виде одного синуса. В данном случае А = 3 и В = 4. Найдем 
умножим и разделим выражение 
на число С. Получим: 
Обозначим
